1.
В системе, изображенной на рисунке, брусок массой M может скользить по рельсам без трения. Груз отводят на угол a от вертикали и отпускают. Определите массу груза m, если угол a при движении системы не меняется.
2.
Тонкостенный заполненный газом цилиндр массой M, высотой H и площадью основания S плавает в воде. В результате потери герметичности в нижней части цилиндра глубина его погружения увеличилась на величину DH. Атмосферное давление равно P0, температура не меняется. Каково было начальное давление газа в цилиндре?
3.
Замкнутая металлическая цепочка соединена нитью с осью центробежной машины и вращается с угловой скоростью w. При этом нить составляет угол a с вертикалью. Найти расстояние x от центра тяжести цепочки до оси вращения.
4.
Внутри длинной трубы, наполненной воздухом, двигают с постоянной скоростью поршень. При этом в трубе со скоростью S = 320 м/с распространяется упругая волна. Считая перепад давлений на границе распространения волны равным P = 1000 Па, оцените перепад температур. Давление в невозмущенном воздухе P0 = 105 Па, температура T0 = 300 К.
5.
На рисунке изображены два замкнутых процесса с одним и тем же идеальным газом 1 - 2 - 3 - 1 и 3 - 2 - 4 - 2. Определите, в каком из них газ совершил большую работу.
Решения олимпиадных задач по физике1.
Пусть T - сила натяжения нити, a1 и a2 - ускорения тел массами M и m.
Записав уравнения движения для каждого из тел вдоль оси x, получим
a1M = T·(1-sina), a2m = T·sina. Поскольку при движении угол a не меняется, то a2 = a1(1-sina). Легко видеть, что
| a1
a2
| = | m(1-sina)
Msina
| = | 1
1-sina
| . |
|
Отсюда
2.
Пусть P и P1 - давления газа в цилиндре до и сразу после разгерметизации соответственно. Ясно, что P1 = P0 +rgh, где h - глубина погружения стакана до разгерметизации. Условие плавания цилиндра до разгерметизации выражается уравнением Mg = rgSh. Заметим, что когда в цилиндр зальется вода и он погрузится еще на глубину DH, давление в нем останется равным P1. Считая процесс сжатия газа в стакане изотермическим, получаем
Учитывая сказанное выше, окончательно находим
| P = | ж
з
и | P0+ | gM
S
| ц
ч
ш | | ж
з
и | 1- | DH
H
| ц
ч
ш | . |
|
3.
Для решения этой задачи необходимо заметить, что центр масс цепочки вращается по окружности радиуса x. При этом на цепочку действует только сила тяжести, приложенная к центру масс и сила натяжения нити T. Очевидно, что центростремительное ускорение может обеспечить только горизонтальная составляющая силы натяжения нити. Поэтому mw2x = Tsina.
В вертикальном направлении сумма всех сил, действующих на цепочку, равна нулю; значит mg-Tcosa = 0. Из полученных уравнений находим ответ
4.
Пусть волна движется в трубе с постоянной скоростью V. Свяжем эту величину с заданным перепадом давления DP и разностью плотностей Dr в невозмущенном воздухе и волне. Разность давлений разгоняет до скорости V "избыток" воздуха с плотностью Dr. Поэтому в соответствии со вторым законом Ньютона можно записать
Отсюда
Воспользуемся теперь уравнением Менделеева-Клапейрона, записав его в форме
Если считать Dr и DT малыми, то произведением Dr·DT можно пренебречь, и потому
Поделив последнее уравнение на уравнение P0 = R rT0 / m, получим
Поскольку Dr = DP/V2, r = P0m/(RT), окончательно находим
Численная оценка с учетом данных, приведенных в условии задачи, дает ответ DT » 0,48K. 5.
Для решения задачи необходимо построить графики круговых процессов в координатах P-V, так как площадь под кривой в таких координатах равна работе. Результат такого построения приведен на рисунке.
Поскольку изотерма 2-4 на графике является вогнутой кривой, то площадь фигуры 1-2-4-1 меньше площади фигуры 3-2-4-3. Отсюда следует, что в круговом процессе 1-2-4-1 газ совершает меньшую работу.
| 
